בגרות 582 חורף 2021 – מרובעים: טרפז ופרבולההנדסה אנליטית 572 · שיעור 106
בגרות 582 · חורף 2021 · שאלה 1
שיעור 106 – בגרות 582 חורף 2021 – מרובעים: טרפז ופרבולה
פרק 10 – פתרון בגרויות 582
1נוסח השאלה
2סעיף א – הישרים של הבסיסים
3סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן
4סעיף ג – מקום גאומטרי
📄 נוסח השאלה
ABCD הוא טרפז, AB ∥ DC . נתון: המרחק בין בסיסי הטרפז, AB ו־DC , הוא √2 . קטע האמצעים של הטרפז ABCD נמצא על הישר x + y − 4 = 0 (ראו סרטוט).
א. מצאו את משוואות הישרים שבסיסי הטרפז נמצאים עליהם.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: השוק BC נמצאת על ציר ה־x . מעבירים פרבולה קנונית y2 = 2px , p > 0 , כך שהקודקודים A ו־D של הטרפז נמצאים על מדריך הפרבולה, ומוקד הפרבולה נמצא על הקודקוד B או על הקודקוד C .
ב. (1) מהי משוואת הפרבולה שבעבורה הטרפז ABCD הוא הגדול מבין שני הטרפזים האפשריים? נמקו.
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) מהי משוואת הפרבולה שבעבורה הטרפז ABCD הוא הקטן מבין שני הטרפזים האפשריים?
ג. מעבירים ישר המקביל לציר ה־x וחותך את שתי הפרבולות שמצאתם בסעיף ב בשתי נקודות, E ו־F . מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו מונחים אמצעי הקטעים EF הנוצרים באופן זה.
סעיף א – הישרים של הבסיסים
קטע האמצעים מקביל לבסיסים ונמצא בדיוק באמצע ביניהם. לכן הבסיסים מקבילים לישר x + y − 4 = 0 – אותם A ו־B – וכל אחד מהם במרחק √22 ממנו:
x + y + C = 0
נכתוב את נוסחת המרחק בין ישרים מקבילים ונסמן את מה שנציב:
d = |C1 − C2|√12 + 12
📐 מרחק בין ישרים מקבילים
נציב C1 = C ו־C2 = −4 :
|C − (−4)|√2 = √22
📐 מרחק בין ישרים מקבילים
d = |C1 − C2|√A2 + B2
סעיף א – הישרים של הבסיסים · המשך
|C − (−4)|√2 = √22
|C + 4| = 22 = 1
C + 4 = 1 ⇒ C = −3
C + 4 = −1 ⇒ C = −5
לפי הסרטוט AB הוא הבסיס הקרוב יותר לראשית.
✅ פתרון סופי: AB : x + y − 3 = 0
DC : x + y − 5 = 0
DC : x + y − 5 = 0
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן
הקודקודים B ו־C הם נקודות החיתוך של הבסיסים עם ציר ה־x . נציב y = 0 :
B(3 , 0) , C(5 , 0)
לפרבולה y2 = 2px המוקד והמדריך הם:
(p2 , 0) , x = −p2
📐 פרבולה קנונית
אפשרות 1 – המוקד ב־B:
p2 = 3 ⇒ p = 6
📐 פרבולה קנונית
y2 = 2px
מוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2
מוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן · המשך
p2 = 3 ⇒ p = 6
המדריך x = −3 . A על המדריך ועל AB , ו־D על המדריך ועל DC . נכתוב את משוואות הבסיסים ונסמן את x :
y = 3 − x , y = 5 − x
נציב x = −3 :
A(−3 , 3 − (−3)) = (−3 , 6)
D(−3 , 5 − (−3)) = (−3 , 8)
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן · המשך
D(−3 , 5 − (−3)) = (−3 , 8)
אורכי הבסיסים:
AB = √(3 + 3)2 + 62 = 6√2
📐 מרחק בין שתי נקודות
DC = √(5 + 3)2 + 82 = 8√2
S1 = 6√2 + 8√22 · √2 = 14
📐 שטח טרפז
אפשרות 2 – המוקד ב־C:
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
📐 שטח טרפז
S = a + b2 · h
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן · המשך
אפשרות 2 – המוקד ב־C:
p2 = 5 ⇒ p = 10
המדריך x = −5 :
A(−5 , 8) , D(−5 , 10)
AB = √82 + 82 = 8√2
DC = √102 + 102 = 10√2
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן · המשך
DC = √102 + 102 = 10√2
S2 = 8√2 + 10√22 · √2 = 18
השטח 18 גדול מ־14. לכן הטרפז הגדול מתקבל כשהמוקד ב־C :
p = 10 ⇒ y2 = 20x
והטרפז הקטן מתקבל כשהמוקד ב־B :
p = 6 ⇒ y2 = 12x
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן · המשך
p = 6 ⇒ y2 = 12x
בסקיצה: הטרפז הגדול בירוק, הפרבולה y2 = 20x ומדריכה בכחול, y2 = 12x ומדריכה בסגול.
✅ פתרון סופי: (1) y2 = 20x
(2) y2 = 12x
(2) y2 = 12x
סעיף ג – מקום גאומטרי
הישר y = k , k ≠ 0 . נכתוב את הפרבולה הראשונה ונסמן את y :
y2 = 20x
נציב y = k :
k2 = 20x ⇒ E(k220 , k)
באותה דרך עם y2 = 12x :
k2 = 12x ⇒ F(k212 , k)
סעיף ג – מקום גאומטרי · המשך
k2 = 12x ⇒ F(k212 , k)
אמצע הקטע EF :
X = k220 + k2122 , Y = k
📐 אמצע קטע
מכנה משותף 60:
X = 3k2 + 5k2602 = 8k2120 = k215
נציב k = Y :
📐 אמצע קטע
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
סעיף ג – מקום גאומטרי · המשך
נציב k = Y :
X = Y215 ⇒ y2 = 15x
ראשית הצירים לא שייכת למקום, כי עבור k = 0 שתי הנקודות מתלכדות. בסקיצה, עבור k = 6 , המקום הגאומטרי בירוק, בין שתי הפרבולות.
✅ פתרון סופי: y2 = 15x
📌 סיכום התשובות
סעיף א
x + y − 3 = 0
x + y − 5 = 0
x + y − 5 = 0
סעיף ב (1)
y2 = 20x
סעיף ב (2)
y2 = 12x
סעיף ג
y2 = 15x
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא